Οι ερευνητές έδωσαν σε κορυφαία μοντέλα τεχνητής νοημοσύνης το ίδιο μαθηματικό πρόβλημα και τα άφησαν να δουλέψουν μόνα τους, ξανά και ξανά. Δεν έφτασαν στη λύση. Με περίπου τον ίδιο όγκο υπολογισμών, αλλά με έναν άνθρωπο να κρίνει σε κάθε γύρο ποιες ιδέες αξίζουν, η απόδειξη βγήκε. Το πρόβλημα ήταν η εικασία Kannan–Lovász–Simonovits (KLS), που οι μαθηματικοί κυνηγούσαν από το 1995.
Την απόδειξη υπογράφουν ο Xinzhi Zhang, από την ομάδα Machine Learning and Optimization της Microsoft Research, και ο Zhao Song. Η Microsoft παρουσίασε τη δουλειά στο ερευνητικό της ιστολόγιο, όπου περιγράφει αναλυτικά και πώς χρησιμοποιήθηκαν τα εργαλεία AI.
Ένα ίσιο μαχαίρι αρκεί για να βρεις το στενότερο σημείο
Η εικασία αφορά σχήματα και κατανομές πιθανοτήτων σε πάρα πολλές διαστάσεις, συγκεκριμένα τις λεγόμενες log-concave κατανομές. Είναι μια ευρεία οικογένεια «καλοσυμπεριφερόμενων» κατανομών, με την καμπάνα της κανονικής κατανομής ως γνωστότερο παράδειγμα. Αν θέλεις να κόψεις ένα τέτοιο σχήμα στα δύο από το πιο στενό του σημείο, μπορείς να χρησιμοποιήσεις οποιαδήποτε καμπύλη τομή. Η KLS υποστηρίζει ότι μια απλή επίπεδη τομή, ένα υπερεπίπεδο στη γλώσσα των μαθηματικών, κάνει σχεδόν εξίσου καλή δουλειά.
Το κρίσιμο είναι το «σχεδόν». Η εικασία λέει ότι η διαφορά ανάμεσα στην καλύτερη ίσια τομή και στην καλύτερη τομή οποιουδήποτε σχήματος δεν ξεπερνά έναν σταθερό αριθμό, όσες διαστάσεις κι αν έχει ο χώρος. Οι χώροι πολλών διαστάσεων φημίζονται για παράξενες ιδιότητες. Αν η KLS ισχύει, τουλάχιστον εδώ δεν χειροτερεύουν όσο ανεβαίνουν οι διαστάσεις.
Η σημασία φαίνεται στους αλγορίθμους. Πολλές μέθοδοι στη στατιστική και στην επιστήμη υπολογιστών εξερευνούν μια κατανομή με «τυχαίους περιπάτους», βήματα προς τυχαίες κατευθύνσεις. Ένας τέτοιος περίπατος κολλάει στα στενά περάσματα. Η γεωμετρία των τομών καθορίζει λοιπόν πόσο γρήγορα δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι. Το Mathematical Sciences Research Institute είχε χαρακτηρίσει την εικασία «κεντρικό ανοιχτό πρόβλημα» της κυρτής γεωμετρίας πολλών διαστάσεων, και το Quanta Magazine είχε γράψει ότι βρίσκεται «στην καρδιά πολλών ερωτημάτων στη στατιστική και την επιστήμη υπολογιστών».
Από «σχεδόν σταθερό» σε σταθερό μέσα σε τέσσερις μέρες
Ως τον Ιούλιο του 2026, το καλύτερο γνωστό αποτέλεσμα επέτρεπε στο όριο να μεγαλώνει, έστω πολύ αργά, με τις διαστάσεις. Οι δύο ερευνητές ξεκίνησαν προσπαθώντας να το βελτιώσουν. Δοκίμασαν πάνω από 100 υποψήφιες προσεγγίσεις μαζί με AI agents, προγράμματα που εκτελούν μόνα τους σειρές βημάτων. Πολλές απαιτούσαν μακροσκελείς πράξεις με τανυστές υψηλής τάξης, πολυδιάστατους πίνακες αριθμών. Από αυτή την αναζήτηση προέκυψε ένα νέο μαθηματικό κριτήριο, που έγινε η βάση της απόδειξης.
Μετά παρατήρησαν ότι το κριτήριο μπορεί να εφαρμοστεί αναδρομικά. Κάθε καλύτερο όριο τροφοδοτούσε ξανά το ίδιο επιχείρημα και έδινε ένα ακόμη στενότερο. Στην έκδοση της 1ης Οκτωβρίου η εξάρτηση από τις διαστάσεις είχε πέσει στον επαναλαμβανόμενο λογάριθμο, μια συνάρτηση που μεγαλώνει τόσο αργά ώστε για κάθε πρακτικό αριθμό μένει μονοψήφια. Παρέμενε όμως συνάρτηση των διαστάσεων, άρα η εικασία δεν είχε κλείσει.
Το τελευταίο βήμα ήταν να επαναλάβουν ολόκληρη την αναδρομική διαδικασία, όχι μόνο μία φορά. Την ιδέα την εμπνεύστηκαν από παλαιότερη δουλειά τους σε γρήγορους αλγορίθμους γραμμικού προγραμματισμού. Απέδειξαν ότι τα μικρά σφάλματα κάθε σταδίου μικραίνουν αρκετά γρήγορα ώστε το άθροισμά τους να μένει φραγμένο από μια σταθερά. Η πλήρης απόδειξη ανέβηκε στις 4 Οκτωβρίου.
Τρεις αποδείξεις την ίδια μέρα
Την ίδια μέρα, μια άλλη ομάδα ειδικών δημοσίευσε δική της πλήρη απόδειξη, που στηρίχθηκε στην πρώτη εκδοχή της δουλειάς των Zhang και Song και τη χαρακτήρισε «το κρίσιμο βήμα της απόδειξης». Μια τρίτη απόδειξη, επίσης την ίδια μέρα, βασίζεται σε συγγενική ιδέα. Ακολούθησε επαλήθευση στο Lean 4, γλώσσα στην οποία ο υπολογιστής ελέγχει γραμμή προς γραμμή ότι μια απόδειξη στέκει. Οι συγγραφείς λένε ότι έχουν ήδη συντομεύσει την απόδειξή τους και την έχουν επαληθεύσει κι αυτή στο Lean, και θα τη δημοσιεύσουν μετά την τελική αναθεώρηση.
Ο άνθρωπος κλάδευε, οι agents έψαχναν
Η μέθοδος εργασίας ήταν συγκεκριμένη. Πολλοί agents δοκίμαζαν παράλληλα παραλλαγές μιας ιδέας. Ο ερευνητής εξέταζε τα ενδιάμεσα αποτελέσματα, απέρριπτε τις άγονες κατευθύνσεις και περνούσε το πιο υποσχόμενο στον επόμενο γύρο. Δοκιμάστηκαν περίπου εκατό τέτοιες διαδρομές πριν από την κρίσιμη ανακάλυψη.
Κατά τη Microsoft, τα εργαλεία AI βοήθησαν στην αναζήτηση προσεγγίσεων, στις αναλυτικές πράξεις, στη σύνταξη του κειμένου και σε εσωτερικούς ελέγχους. Η αναδρομική μέθοδος, η επανάληψή της και η απόδειξη ότι τα σφάλματα μένουν φραγμένα αποδίδονται στους ίδιους τους ερευνητές, που αποφάσισαν την κατεύθυνση και έλεγξαν το τελικό επιχείρημα. Η παράλληλη δοκιμή με τα μοντέλα να δουλεύουν χωρίς καθοδήγηση, με περίπου τον ίδιο συνολικό αριθμό tokens, των μονάδων κειμένου που επεξεργάζεται ένα μοντέλο, δεν έφτασε στον στόχο.
